Question

已知在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，PA=PD=AD=2BC=2CD，E，F分別是AD，PC的中點．
（Ⅰ）求證AD⊥平面PBE；
（Ⅱ）求證PA∥平面BEF；
（Ⅲ）若PB=AD，求二面角F-BE-C的大�。�

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）證明AD⊥平面PBE，只需證明BE⊥AD，PE⊥AD；
（Ⅱ）證明PA∥平面BEF，只需證明FG∥PA；
（Ⅲ）取CD中點H，連接FH，GH，可知∠FGH為二面角F-BE-C的平面角，即可求二面角F-BE-C的大小．

解答： （Ⅰ）證明：由已知得ED∥BC，ED=BC，
故BCDE是平行四邊形，所以BE∥CD，BE=CD，
因為AD⊥CD，所以BE⊥AD，
由PA=PD及E是AD的中點，得PE⊥AD，
又因為BE∩PE=E，所以AD⊥平面PBE．
（Ⅱ）證明：連接AC交EB于G，再連接FG，
由E是AD的中點及BE∥CD，知G是BF的中點，

又F是PC的中點，故FG∥PA，
又因為FG?平面BEF，PA?平面BEF，
所以PA∥平面BEF．
（Ⅲ）解：設PA=PD=AD=2BC=2CD=2a，
則PF=

3

a，又PB=AD=2a，EB=CD=a，
故PB²=PE²+BE²即PE⊥BE，
又因為BE⊥AD，AD∩PE=E，
所以BE⊥平面PAD，得BE⊥PA，故BE⊥FG，
取CD中點H，連接FH，GH，可知GH∥AD，因此GH⊥BE，
綜上可知∠FGH為二面角F-BE-C的平面角．
可知FG=

1

2

PA=a，FH=

1

2

PD=a，GH=

1

2

AD=a，
故∠FGH=60°，所以二面角F-BE-C等于60°．

點評：本題考查線面垂直、線面平行，考查面面角，解題的關鍵是掌握線面垂直、線面平行的判定方法，正確找出面面角．