Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長為1的正方體．
（1）求證：BD₁⊥平面ACB₁；
（2）求三棱錐B-ACB₁的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）連接A₁B，A₁B⊥AB₁，D₁A₁⊥AB₁．由AB₁⊥A₁B，AB₁⊥D₁A₁，A1B和D₁A₁是面A₁BD₁內的相交直線，所以AB₁⊥面A₁BD₁，又BD₁在面A₁BD上，AB₁⊥BD₁，同理，AC⊥BD₁．由此能夠證明BD₁⊥面ACB₁．
（2）三棱錐B-ACB₁，也就是ABC為底，BB₁為高的三棱錐．由此能求出三棱錐B-ACB₁體積．

解答： （1）證明：連接A₁B，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
面A₁B₁BA是正方形，對角線A₁B⊥AB₁，
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁A₁⊥面A₁B₁BA，AB₁在面A₁B₁BA上，
∴D₁A₁⊥AB₁，
∵AB₁⊥A₁B，AB₁⊥D₁A₁，
A1B和D₁A₁是面A₁BD₁內的相交直線，
∴AB₁⊥面A₁BD₁，又BD₁在面A₁BD₁上，
∴AB₁⊥BD₁，同理，D₁D⊥面ABCD，
AC在面ABCD上，D₁D⊥AC，
在正方形ABCD中對角線AC⊥BD，
∵AC⊥D₁D，AC⊥BD，D₁D和BD是面BDD₁內的相交直線，
∴AC⊥面BDD₁，又BD₁在面BDD₁上，
∴AC⊥BD₁，
∵BD₁⊥AB₁，BD₁⊥AC，
AB₁和AC是面ACB₁內的相交直線
∴BD₁⊥面ACB₁．
（2）解：三棱錐B-ACB₁，也就是ABC為底，BB₁為高的三棱錐，
三棱錐B-ACB₁體積V=

1

2

×AB×AD×

1

3

BB₁=

1

3

×1×（

1

2

×1×1）=

1

6

．   …（12分）

點評：本題考查線面垂直，考查幾何體的體積等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、運算求解能力．