Question

已知函數f（x）=

mx2+8x+n

x2+1

的定義域為R，值域為[0，8]，求實數m，n的值．

Answer 1

考點：函數的值域,函數的定義域及其求法

專題：函數的性質及應用

分析：首先根據題意，將式子變形為（y-m）x²-8x+y-n=0，然后運用二次函數中的△≥0，求出實數m，n的值即可．

解答： 解：設y=f（x）=

mx2+8x+n

x2+1

，
將式子變形為（y-m）x²-8x+y-n=0，
當y-m≠0，△=64-4（y-m）（y-n）≥0，
即（y-m）（y-n）≤16，
∴0，8是方程（y-m）（y-n）=16的兩個根，代入得

(0-m)(0-n)=16 (8-m)(8-n)=16

，
解得m=n=4．
當y-m=0時，m=n=4，也符合題意．
∴m=n=4．

點評：本題主要考查了函數的定義域、值域的運用，屬于中檔題，解答此題的關鍵是借助一元二次方程有解時△≥0恒成立．