Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，∠ABD=∠ADB.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若，，，，，點為的中點，求平面切割三棱錐得到的上下兩個幾何體的體積之比.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取BD中點F，連接AF，SF，由已知可得SF⊥BD，AF⊥BD，再由線面垂直的判定可得BD⊥平面SAF，則SA⊥BD；

（Ⅱ）取SD中點H，連接CH，EH，可得EH∥BC，故B，C，E，H共面，過C作CG⊥AD于G，設AB=x，由tan∠CDA=2求得x=2，證明AB⊥平面SAD，然后分別求出三棱錐S-ACD與四棱錐C-AEHD的體積，則答案可求．

（Ⅰ）取的中點，連接，．

∵，∴，

∵，∴．

∵，∴，

∵，∴．

∵，平面，平面，

∴平面．

∵平面，∴．

（Ⅱ）取的中點，連接，，

易知，故點共面．

過作于．

設，故，解得．

又，，，

∴平面．

∴，．

∴，∴．