Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）討論函數的單調性.

（Ⅱ）若時，存在兩個正實數滿足，求證：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

（I）對 求導，得，令，對，，進行分類討論，得的單調性即可；

（II）存在兩個正數m，n使得成立，轉化為，令對求導，得在上單調遞減，在上單調遞增；所以在取得最小值為 ，得出，計算即可得出結論.

（I）依題意，可知

對于函數，

當，即時，此時函數在上單調遞增.

當，即時，函數有兩個零點，且，其中

若，則，當時，；當時，

當時，，

若，則，當時，；當時，.

綜上所述，當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增.

（II） 當a=4時，存在兩個正數m，n使得成立，則，所以，

即

令

則

當時，，所以函數在上單調遞減；

當時，，所以函數在上單調遞增；

所以函數在取得最小值，最小值為.

所以，即，解得或

因為，所以.