Question

已知函數，為自然對數的底數）.
(Ⅰ)當時,求的單調區間；
(Ⅱ)若函數在上無零點,求最小值；
(Ⅲ)若對任意給定的,在上總存在兩個不同的),使成立,求的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ) 的單調遞減區間為，單調遞增區間為；(Ⅱ) ；(Ⅲ) .

試題分析：(Ⅰ)將代入，對求導，令和分別求出函數的單調遞增區間和單調遞減區間；(Ⅱ)通過分析已知先得到“對，恒成立”，下面求在上的最大值，所以，解出的最小值；(Ⅲ)先對求導，判斷出上的單調性，并求出的值域，再對求導，確定單調性，畫出簡圖，因為，得到，通過驗證（2）是恒成立的，所以只需滿足（3）即可，所以解出的取值范圍.
試題解析：(Ⅰ)當時, ()，則.   1分
由得；由得.               3分
故的單調遞減區間為，單調遞增區間為.       4分
(Ⅱ)因為在區間上恒成立是不可能的,       5分
故要使函數在上無零點,只要對任意,恒成立.
即對，恒成立.       6分
令，，則，
再令，，則.
故在為減函數，于是，
從而，于是在上為增函數，
所以，            8分
故要使恒成立，只要.
綜上可知，若函數在上無零點，則的最小值為.   9分
(Ⅲ)，所以在上遞增，在上遞減.
又，，
所以函數在上的值域為.            10分
當時，不合題意；
當時，， .
當時，，由題意知，在上不單調，
故，即            11分
此時，當變化時，，的變化情況如下：

	—	0	+
	↘	最小值	↗

又因為當時，，
，，
所以，對任意給定的，在上總存在兩個不同的，
使得成立，當且僅當滿足下列條件：
，       12分
令，，則，
故當時，函數單調遞增，
當時，函數單調遞減，
所以，對任意的，有，
即(2)對任意恒成立，則(3)式解得 (4) .     13分
綜合(1)與(4)可知，當時，對任意給定的，
在上總存在兩個不同的，使得成立.      14分