Question

【題目】定義在R上的函數(shù) y=f（x） 對(duì)任意的x，y∈R，滿足條件：f（x+y）=f（x）+f（y）﹣2，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞2
（1）求f（0）的值；
（2）證明：函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)；
（3）解不等式f（2t2﹣t﹣3）﹣2＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意：函數(shù) y=f（x）定義在R上 對(duì)任意的x，y∈R滿足條件：f（x+y）=f（x）+f（y）﹣2，

∴令x=y0，

由f（x+y）=f（x）+f（y）﹣2，

可得：f（0）=f（0）+f（0）﹣2，

解得：f（0）=2．

故f（0）的值為：2

（2）證明：設(shè)x1＜x2，x1、x2∈R，

則x2﹣x1＞0，

由（1）可得f（x2﹣x1）＞2．

因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）﹣2，

所以f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣2＞f（x1）

所以函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)

（3）解：由（1）（2）可知函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)．且f（0）=2；

不等式f（2t2﹣t﹣3）﹣2＜0，變形得f（2t2﹣t﹣3）＜2，轉(zhuǎn)化為f（2t2﹣t﹣3）＜f（0）．

故得：2t2﹣t﹣3＜0

解得： ，

所以原不等式的解集是（﹣1， ）

【解析】（1）由題意 y=f（x） 對(duì)任意的x，y∈R，關(guān)系式成立，采用賦值法，可得f（0）的值；（2）利用定義證明其單調(diào)性．（3）利用單調(diào)性及f（0）的值，求解不等式即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較才能正確解答此題．