Question

【題目】一位幼兒園老師給班上k（k≥3）個(gè)小朋友分糖果．她發(fā)現(xiàn)糖果盒中原有糖果數(shù)為a0，就先從別處抓2塊糖加入盒中，然后把盒內(nèi)糖果的分給第一個(gè)小朋友；再?gòu)膭e處抓2塊糖加入盒中，然后把盒內(nèi)糖果的分給第二個(gè)小朋友；…，以后她總是在分給一個(gè)小朋友后，就從別處抓2塊糖放入盒中，然后把盒內(nèi)糖果的分給第n（n=1，2，3，…k）個(gè)小朋友．如果設(shè)分給第n個(gè)小朋友后（未加入2塊糖果前）盒內(nèi)剩下的糖果數(shù)為an．

（1）當(dāng)k=3，a0=12時(shí)，分別求a1，a2，a3；

（2）請(qǐng)用an-1表示an；令bn=（n+1）an，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；

（3）是否存在正整數(shù)k（k≥3）和非負(fù)整數(shù)a0，使得數(shù)列{an}（n≤k）成等差數(shù)列，如果存在，請(qǐng)求出所有的k和a0，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）a1=7，a2=6，a3=6 （2）an=（an-1+2），bn=n（n+1）+a0 （3）存在，當(dāng)a0=0時(shí)，an=n，對(duì)任意正整數(shù)k（k≥3），有{an}（n≤k）成等差數(shù)列．

【解析】

（1）由題意知：an＝（an﹣1+2）（an﹣1+2），將k＝3，a0＝12代入可得a1，a2，a3；

（2）將an＝（an﹣1+2）（an﹣1+2）變形得（n+1）an＝n（an﹣1+2）＝nan﹣1+2n，即bn﹣bn﹣1＝2n，利用累加法可得bn﹣b0＝n（n+1），進(jìn)而得到數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；

（3）由（2）得an＝n，根據(jù)等差數(shù)列滿足a1+a3＝2a2，代入求出a0＝0，an＝n時(shí)，滿足條件．

（1）當(dāng)k＝3，a0＝12時(shí)，

a1＝（a0+2）（a0+2）＝7，

a2＝（a1+2）（a1+2）＝6，

a3＝（a2+2）（a0+2）＝6，

（2）由題意知：an＝（an﹣1+2）（an﹣1+2）（an﹣1+2），

即（n+1）an＝n（an﹣1+2）＝nan﹣1+2n，

∵bn＝（n+1）an，

∴bn﹣bn﹣1＝2n，

∴bn﹣1﹣bn﹣2＝2n﹣2，

…

b1﹣b0＝2，

累加得bn﹣b0n（n+1）

又∵b0＝a0，

∴bn＝n（n+1）+a0，

（3）由bn＝n（n+1）+a0，得an＝n，

若存在正整數(shù)k（k≥3）和非負(fù)整數(shù)a0，使得數(shù)列{an}（n≤k）成等差數(shù)列，

則a1+a3＝2a2

即（1a0）+3a0＝2（2a0）

∴a0＝0

即當(dāng)a0＝0時(shí)，an＝n，對(duì)任意正整數(shù)k（k≥3），有{an}（n≤k）成等差數(shù)列．