Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x2﹣ax+b．
（1）若不等式f（x）＜0的解集是{x|2＜x＜3}，求不等式bx2﹣ax+1＞0的解集；
（2）當(dāng)b=3﹣a時(shí)，對(duì)任意的x∈（﹣1，0]都有f（x）≥0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵不等式x2﹣ax+b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，

∴x=2，x=3是方程x2﹣ax+b=0的解，

由韋達(dá)定理得：a=5，b=6，

故不等式bx2﹣ax+1＞0為6x2﹣5x+1＞0，

解不等式6x2﹣5x+1＞0，

得其解集為{x|x＜ 或x＞ }

（2）解：據(jù)題意x∈（﹣1，0]，f（x）=x2﹣ax+3﹣a≥0恒成立，

則可轉(zhuǎn)化為a≤ ，

設(shè)t=x+1，則t∈（0，1]，

= =t+ ﹣2關(guān)于t遞減，

所以 =1+4﹣2=3，

∴a≤3

【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出a，b的值，解不等式求出其解集即可；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a≤ ，設(shè)t=x+1，則t∈（0，1]，從而求出a的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的值域的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小（大）數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減．