Question

已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是邊長為2的菱形，AC∩BD=O，AA₁=2

3

，BD⊥A₁A，∠BAD=∠A₁AC=60°，點M是棱AA₁的中點．
（1）求證：A₁C∥平面BMD；
（2）求證：A₁O⊥平面ABCD；
（3）求三棱錐B-AMD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）根據線面平行的性質即可證明A₁C∥平面BMD；
（2）根據線面垂直的判定定理即可證明A₁O⊥平面ABCD；
（3）利用體積轉化法即可求三棱錐B-AMD的體積．

解答： 證明：（1）連結MO，
則

A1M=MA AO=OC

⇒MO∥AC，
∵MO?平面BMD，A₁C?平面BMD，
∴A₁C∥平面BMD．
（2）∵BD⊥AA₁，BD⊥AC，∴BD⊥平面A₁AC，
于是BD⊥A₁O，AC∩BD=O，
∵底面ABCD是邊長為2的菱形，且∠BAD=60°，
∴AO=

1

2

AC=

3

，AA₁=2

3

，cos∠A₁AC=60°，
∴A₁O⊥AC，
∵A₁O⊥BD，
∴A₁O⊥平面ABCD；
（3）體積轉換法：
∵A₁O⊥平面ABCD，M為A₁O的中點，
∴M到平面ABCD的距離為

1

2

A1O=

3

2

，三角形ABD的面積為

3

，
VB-AMD=VM-ABD=

3

2

．

點評：本題主要考查空間直線和平面平行和垂直的判定以及空間幾何體的體積的計算，要求熟練掌握相應的判定定理．