Question

已知曲線C₁的參數方程為

x=a+t y=- 3 t

（t為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=2．
（1）求曲線C₁、C₂的普通方程；
（2）若曲線C₁、C₂有公共點，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：直線的參數方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數方程

分析：（1）由參數方程和普通方程的關系易得曲線C₁、C₂的普通方程分別為：

3

x+y-

3

a=0，x²+y²=4；
（2）由直線和圓的位置關系可得圓心（0，0）到直線

3

x+y-

3

a=0的距離d≤2，由距離公式可得d的不等式，解不等式可得．

解答： 解：（1）∵曲線C₁的參數方程為

x=a+t y=- 3 t

（t為參數），
∴消去參數t可得

3

x+y-

3

a=0，
又曲線C₂的極坐標方程為ρ=2，
∴

x2+y2

=2，平方可得x²+y²=4，
∴曲線C₁、C₂的普通方程分別為：

3

x+y-

3

a=0，x²+y²=4；
（2）若曲線C₁、C₂有公共點，
則圓心（0，0）到直線

3

x+y-

3

a=0的距離d≤2，
∴

|- 3 a|

3+12

≤2，解得-

4 3

3

≤a≤

4 3

3

∴a的取值范圍為：[-

4 3

3

，

4 3

3

]

點評：本題考查直線和圓的參數方程，涉及直線和圓的位置關系，屬基礎題．