Question

如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，點E是PD的中點．
（1）求證：面PAB⊥面PAC；
（2）求證：PB∥平面AEC．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：對第（1）問，先證平面PAC內的一條直線AC⊥平面PAB，再由面面垂直的判定定理得證．
對第（2）問，先連結BD交AC于點O，連結EO，再證直線PB平行于平面AEC內的直線EO，從而由線面平行的判斷定理得證．

解答： 證明：（1）∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PA⊥AC．又AB⊥AC，PA∩AB=A，
∴AC⊥平面PAB，∴面PAC⊥面PAB．
（2）如下圖所示，連結BD交AC于點O，連結EO，則EO是△PDB的中位線，∴EO∥PB．
又EO?平面AEC，PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC．

點評：本題考查了線面平行的判定定理和面面垂直的判定定理，證線面平行的關鍵是在已知平面內找一條直線與已知直線平行；證面面垂直的關鍵是在其中一個平面內尋找一條直線與另一個平面垂直．