Question

【題目】已知函數f(x)＝|x－3|－|x＋1|.

(1)求f(x)的值域；

(2)解不等式：f(x)>0；

(3)若直線y＝a與f(x)的圖像無交點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) [－4,4] (2) (－∞，1) (3) a∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)

【解析】

(1)首先將函數的解析式寫成分段函數的形式，然后求解其值域即可；

(2)結合函數的解析式零點分段求解不等式的解集即可；

(3)首先繪制函數f(x)的圖像，然后數形結合即可確定實數a的取值范圍.

若x≤－1，則x－3<0，x＋1≤0，

f(x)＝－(x－3)＋(x＋1)＝4；

若－1<x≤3，則x－3≤0，x＋1>0，

f(x)＝－(x－3)－(x＋1)＝－2x＋2；

若x>3，則x－3>0，x＋1>0，

f(x)＝(x－3)－(x＋1)＝－4.

∴f(x)＝

(1)－1<x≤3時，－4≤－2x＋2<4.

∴f(x)的值域為[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4]．

(2)f(x)>0，即①

或②

或③

解①得x≤－1，解②得－1<x<1，解③得x∈.

∴f(x)>0的解集為(－∞，－1]∪(－1,1)∪＝(－∞，1)．

(3)f(x)的圖像如下：

由圖可知，當a∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)時，直線y＝a與f(x)的圖像無交點．