Question

【題目】已知右焦點為的橢圓關于直線對稱的圖形過坐標原點.

是橢圓的左頂點，斜率為的直線交于，兩點，點在上，.

（Ⅰ）當時，求的面積；

（Ⅱ）當時，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）證明詳見解析

【解析】

（Ⅰ）由橢圓關于直線的對稱圖形過原點，可得a、c的關系，再由a、b、c的關系，可得a、c的值，進而求得橢圓方程，由可知兩線段關于x軸對稱，直線AM傾斜角為，求出直線方程，與橢圓方程聯立求得交點坐標，進而求得三角形面積.

（Ⅱ）用設而不求的方式，分別假設兩條直線方程，并求出弦長，且兩直線斜率互為負倒數，根據兩弦長之間的斜率關系，得出斜率k的方程，根據函數與方程的關系，通過求導分析，證明結論.

（Ⅰ）由題意得橢圓的焦點在軸上，∵橢圓關于直線對稱的圖形過坐標原點，∴，∵，∴，解得.∴橢圓的方程為.設，則由題意知.

由已知及橢圓的對稱性知，直線的傾斜角為，

又，因此直線的方程為.

將代入得，

解得或，所以.

因此的面積.

（2）將直線的方程代入得

.

由得，故.

由題設，直線的方程為，故同理可得.

由得，即.

設，則是的零點，，

所以在單調遞增，又，，

因此在有唯一的零點，且零點在內，所以.