Question

【題目】已知函數，其中為自然對數的底數.

（Ⅰ）討論函數的單調性及極值；

（Ⅱ）若不等式在內恒成立，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）函數求導得，討論和演技單調性及極值即可；

（2）當時，在內單調遞增，可知在內不恒成立，當時， ，即，所以.令，進而通過求導即可得最值.

試題解析：

（1）由題意得.

當，即時，，在內單調遞增，沒有極值.

當，即，

令，得，

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增，

故當時，取得最小值，無極大值.

綜上所述，當時，在內單調遞增，沒有極值；

當時，在區間內單調遞減，在區間內單調遞增，的極小值為，無極大值.

（2）由（1），知當時，在內單調遞增，

當時，成立.

當時，令為和中較小的數，

所以，且.

則，.

所以，

與恒成立矛盾，應舍去.

當時， ，

即，

所以.

令，

則.

令，得，

令，得，

故在區間內單調遞增，

在區間內單調遞減.

故，

即當時，.

所以.

所以.

而，

所以.