【題目】被嘉定著名學者錢大昕贊譽為“國朝算學第一”的清朝數學家梅文鼎曾創造出一類“方燈體”，“燈者立方去其八角也”，如圖所示，在棱長為
的正方體
中，點
為棱上的四等分點.
（1）求該方燈體的體積；
（2）求直線
和
的所成角；
（3）求直線
和平面
的所成角．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
.
【解析】
（1）計算出八個角（即八個三棱錐）的體積之和，然后利用正方體的體積減去這八個角的體積之和即可得出方燈體的體積；
（2）以
為原點，
為
軸，
為
軸，
為
軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出直線
和
的所成角；
（3）求出平面
的法向量，利用空間向量法求出直線
和平面的所成角的正弦值，由此可得出和平面的所成角的大小.
（1）
在棱長為
的正方體
中，點
為棱上的四等分點，
該方燈體的體積：
；
（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，
、
、
、
，
，
，
設直線和的所成角為
，則
，
直線和的所成角為；
（3）
，
，
，
，
設平面的法向量
，
則
，得
，取
，得
，
設直線和平面的所成角為
，則
，
直線和平面的所成角為．
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數），其中
為直線的傾斜角.以坐標原點為極點，以
軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程是
.
（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；
（2）若點
的極坐標為
，直線經過點且與曲線相交于
兩點，求兩點間的距離
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知關于
的不等式
，下列結論正確的是（ ）
A.當
時，不等式的解集為
B.當
，
時，不等式的解集為
C.當
時，不等式的解集可以為
的形式
D.不等式的解集恰好為
，那么
E.不等式的解集恰好為，那么
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)＝|x－3|－|x＋1|.
(1)求f(x)的值域；
(2)解不等式：f(x)>0；
(3)若直線y＝a與f(x)的圖像無交點，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
中，底面
是矩形，面
底面
，且
是邊長為
的等邊三角形， 
在
上，且
面
.
（1）求證: 
是
的中點；
（2）在
上是否存在點
，使二面角
為直角？若存在，求出
的值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某同學在研究函數f（x）=
（x∈R）時，分別給出下面幾個結論：
①等式f（-x）=-f（x）在x∈R時恒成立；
②函數f（x）的值域為（-1，1）；
③若x1≠x2，則一定有f（x1）≠f（x2）；
④方程f（x）=x在R上有三個根．
其中正確結論的序號有______．（請將你認為正確的結論的序號都填上）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校高一、高二、高三的三個年級學生人數如下表
高三 | 高二 | 高一 | |
女生 | 100 | 150 | z |
男生 | 300 | 450 | 600 |
按年級分層抽樣的方法評選優秀學生50人，其中高三有10人．
（1）求z的值；
（2）用分層抽樣的方法在高一中抽取一個容量為5的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至少有1名女生的概率；
（3）用隨機抽樣的方法從高二女生中抽取8人,經檢測她們的得分如下：9．4，8．6，9．2， 9．6，8．7，9．3，9．0，8．2，把這8人的得分看作一個總體，從中任取一個數，求該數與樣本平均數之差的絕對值不超過0．5的概率．
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