Question

【題目】如圖，在三棱柱中，已知平面，，，.

(1) 求證：；

(2) 求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

(1)直棱柱的關系先證明和進而證明平面,從而得到即可.

(2)建立以為坐標原點,以,,所在的直線分別為,,軸的空間直角坐標系,再求出的向量與平面的法向量求解即可.

解：（1）如圖,連接,因為平面,平面,平面,所以,.

又,所以四邊形為正方形,所以.

因為,所以.又平面,平面,,所以,平面

因為平面,所以.

又平面,平面,,所以平面.

因為平面,所以

（2）解法1:在中,,,,所以.

又平面,,所以三棱錐的體積

易知,,,

所以

設點到平面的距離為,則三棱錐的體積,

由等體積法可知,則,解得 .

設直線與平面所成的角為,則,

故直線與平面所成角的正弦值為

解法2：(2)由（1）知,,,兩兩垂直,以為坐標原點,以,,所在的直線分別為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.因為,.

所以,,,,

所以,,

設平面的法向量為,則,即,

令,,所以為平面的一個法向量,

則

設直線與平面所成的角為,則,

故直線與平面所成角的正弦值為