Question

【題目】已知函數.

(1)求曲線在點處的切線方程；

(2)證明：在區間上有且僅有個零點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）給函數求導，將切點的橫坐標帶入原函數，導函數，分別求出切點和斜率，用點斜式寫出直線方程即可.

（2）當時，，所以，函數在區間上沒有零點；又，下面只需證明函數在區間上有且只有一個零點.因為函數在區間上單調遞增，，，存在，使得，函數在處取得極小值，則，又，所以，由零點存在定理可知，函數在區間上有且只有一個零點.綜上可得，函數在上有且僅有兩個零點.

（1），則，

，.

因此，函數在點處的切線方程為，即.

（2）當時，，此時，，

所以，函數在區間上沒有零點；

又，下面只需證明函數在區間上有且只有一個零點.

，構造函數，則，

當時，，

所以，函數在區間上單調遞增，

，，

由零點存在定理知，存在，使得，

當時，，當時，.

所以，函數在處取得極小值，則，

又，所以，

由零點存在定理可知，函數在區間上有且只有一個零點.

綜上可得，函數在上有且僅有兩個零點.