Question

【題目】已知為坐標原點，是拋物線：的焦點，是拋物線上位于第一象限內的任意一點，過，，三點的圓的圓心為.

（1）是否存在過點，斜率為的直線，使得拋物線上存在兩點關于直線對稱？若存在，求出的范圍；若不存在，說明理由；

（2）是否存在點，使得直線與拋物線相切于點？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）不存在，理由見解析；（2）存在，

【解析】

(1)． 先假設存在，設直線的方程為，若A,B兩點關于直線對稱，則直線的方程為，聯立直線AB與拋物線方程，求A，B兩點的中點N，再將N帶入直線l中，在判斷是否能求出k的范圍；

(2)． 將拋物線化為二次函數形：，利用導數的幾何意義，求得切線MQ，結合Q點的宗坐標值，求得Q的橫坐標；最后根據，列出關于關于M點橫坐標x的方程，并求解即可。

（1）假設存在，設直線的方程為，關于直線對稱的兩點，，由題意知，所以直線的方程為，

聯立消可得：，

（※），

所以，，

所以，中點，由題意在直線上，

所以，即，

代入（※）式可得：，即，無實數解，故不存在符合題意的直線.

（2）點，又，設，

變形為，所以，

因為直線為拋物線的切線，故，

解得，即，

又取中點，由垂徑定理知，

所以可得：，

解得，所以存在符合題意