Question

【題目】已知函數

（1）討論函數的單調性；

（2）若函數有兩個極值點，證明：

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）首先對函數求導，根據韋達定理與判別式確定二次函數根的分布，然后根據函數值的正負確定函數的單調性；

（2）首先求出，然后在對求出的表達式進行切線縮放即可證明不等式.

（1）由題知函數的定義域為，

有，

對有，

當時，有，

所以函數在上單調遞增，

當時，有兩個根，，設，

根據韋達定理有，，

當時，

有兩個正根，，

可知當時，函數單調遞增，

當時，函數單調遞減，

當時，函數單調遞增，

當時，

有兩個根，，

可知當時，函數單調遞減，

可知當時，函數單調遞增；

（2）由（1）知當時，函數有兩個極值點，，設，

根據（1）中單調性可知函數在處取極大值，處取極小值，

所以，

代入，，

整理得，

令，有，

有，

因為，

代入有.