Question

如圖，在半徑為R的半球內(nèi)有一內(nèi)接圓柱，則這個(gè)圓柱體積的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)這個(gè)圓柱的高為h，可得這個(gè)圓柱的體積V=π（-h³+R²h）．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得V在（0，

R

3

R）上是增函數(shù)，在（

R

3

R，R）上是減函數(shù)，由此可得當(dāng)h=

R

3

R時(shí)，圓柱的體積取最大值．

解答： 解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，
則r²+h²=R²，
設(shè)圓柱的體積設(shè)為V，
則V=πr²•h=π（R²-h²）•h=πR²h-πh³，
∴V′=πR²-3πh²．
令V′=0得h=

R

3

，
易知此時(shí)V取得最大值，最大值為

2 3

9

πR³．
故答案為：

2 3

9

πR³

點(diǎn)評：本題給出半球，求其內(nèi)接圓柱的體積最大值，著重考查了球內(nèi)接多面體、圓柱體積公式和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值等知識(shí)，屬于中檔題．