Question

三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC．
（1）證明：平面PAB⊥平面PBC；
（2）若PA=

6

，AC=

3

，PB與底面ABC成60°角，E，F(xiàn)分別是PB與PC的中點，S是線段EF上任意一動點（可與端點重合），求多面體SABC的體積．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由線面垂直得PA⊥BC，由AB⊥BC，得BC⊥面PAB，由此能證明面PAB⊥面PBC．
（2）由PB與底面ABC成60°角，知∠PBA=60°，PA=

6

，由E、F分別是PB與PC的中點，EF∥面ABC，由此利用等積法能求出多面體SABC的體積．

解答： （1）證明：∵PA⊥面ABC，∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC，且PA∩AB=A，∴BC⊥面PAB
而BC?面PBC中，
∴面PAB⊥面PBC．（5分）
（2）解：PB與底面ABC成60°角，
即∠PBA=60°，PA=

6

，（6分）
在Rt△PAC中，AB=

2

，又AC=

3

，
在Rt△ABC中，BC=1．（8分）
E、F分別是PB與PC的中點，
∴EF∥面ABC，（9分）
∴VS-ABC=VE-ABC=

1

3

×

1

2

AB×AC×

1

2

PA=

3

6

．（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查多面體的體積的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．