【題目】如圖1，在邊長為3的菱形
中，已知
，且
.將梯形
沿直線
折起，使
平面
，如圖2，
分別是
上的點.
（1）若平面
平面
，求
的長；
（2）是否存在點
，使直線
與平面
所成的角是
？若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）先平面
與平面
有公共點
，得平面與平面相交，設交線為
，根據平面
平面
得到
，設
，再得到
，同理的得到
，
根據
即可求出結果；
(2) 以點
為原點，分別以
，
，
所在直線為
軸建立空間直角坐標系，設
，用
表示出平面的法向量，根據直線
與平面所成的角是
，即可求出結果.
解：（1）證明：因為平面與平面有公共點，
所以平面與平面相交，設交線為，若平面平面，
因為平面
平面
，則.
設，又因為
，所以，
同理，由平面平面，
因為平面
平面
，平面
平面
，
所以.
所以
.因為
，
，
，所以
，
所以
（2）在圖2中，以點為原點，分別以，，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如下圖所示.
易得
，則
，又
，
，
，
所以
，
，
，
設，則
則
設平面的法向量為
，由它與
，
均垂直可得
，
令
，可得
，
，
所以
.
若存在點
，使與平面所成的角是，
則
，解得
，因為
，
所以
，即
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設命題p：實數x滿足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命題q：實數x滿足x2﹣5x+6＜0．
（1）若a＝1，且p∧q為真命題，求實數x的取值范圍；
（2）若p是q的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】PM2.5是指空氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物（也稱可入肺顆粒物），為了探究車流量與PM2.5的濃度是否相關，現采集到某城市周一至周五某一時間段車流量與PM2.5濃度的數據如下表：
時間 | 周一 | 周二 | 周三 | 周四 | 周五 |
車流量x（萬輛） | 100 | 102 | 108 | 114 | 116 |
PM2.5的濃度y（微克/立方米） | 78 | 80 | 84 | 88 | 90 |
（1）根據上表數據，用最小二乘法，求出y關于x的線性回歸方程
x
；
（2）若周六同一時間段車流量200萬輛，試根據（1）求出的線性回歸方程，預測此時PM2.5的濃度為多少？
（參考公式：
，
；參考數據：
xi＝540，yi＝420）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】六棱錐
中，底面
是正六邊形，
底面，給出下列四個命題：
①線段
的長是點
到線段
的距離；
②異面直線
與
所成角是
；
③線段
的長是直線與平面
的距離；
④
是二面角
平面角.
其中所有真命題的序號是_______________.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，在邊長為3的菱形
中，已知
，且
.將梯形
沿直線
折起，使
平面
，如圖2，
分別是
上的點.
（1）求證：圖2中，平面
平面；
（2）若平面
平面
，求三棱錐
的體積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】平面直角坐標系xOy中，拋物線
的焦點為F，過F的動直線l交
于M、N兩點.
（1）若l垂直于x軸，且線段MN的長為1，求的方程；
（2）若
，求線段MN的中點P的軌跡方程；
（3）求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，馬路
南邊有一小池塘，池塘岸
長40米，池塘的最遠端
到的距離為400米，且池塘的邊界為拋物線型，現要在池塘的周邊建一個等腰梯形的環池塘小路
，且均與小池塘岸線相切，記
.
（1）求小路的總長，用
表示；
（2）若在小路與小池塘之間（圖中陰影區域）鋪上草坪，求所需鋪草坪面積最小時，
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（t為參數），以坐標原點
為極點，以
軸正半軸為極軸，建立極坐標系，圓
的極坐標方程為
．
（Ⅰ）求的普通方程和的直角坐標方程；
（Ⅱ）過曲線上任一點
作與夾角為45°的直線，交于點
，求
的最大值與最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在平行四邊形
中，
點
是
邊的中點，將
沿
折起，使點
到達點
的位置，且
（1）求證; 平面
平面
；
（2）若平面
和平面
的交線為
，求二面角
的余弦值.
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