Question

【題目】如圖，馬路南邊有一小池塘，池塘岸長40米，池塘的最遠端到的距離為400米，且池塘的邊界為拋物線型，現要在池塘的周邊建一個等腰梯形的環池塘小路，且均與小池塘岸線相切，記.

（1）求小路的總長，用表示；

（2）若在小路與小池塘之間（圖中陰影區域）鋪上草坪，求所需鋪草坪面積最小時，的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）當時，所需鋪草坪面積最小

【解析】

（1）建立合適的平面直角坐標系，求出小池塘的邊界拋物線方程，然后設出直線的方程，和拋物線聯立，可求出切點坐標， 同時可求出的坐標，表示出，變形即可得結果；

（2）要所需鋪草坪面積最小，需要梯形面積最小，利用（1）的結果表示出梯形面積，利用基本不等式求出最值．

解：（1）以為原點，所在直線為軸，過點作垂直于軸的直線為軸，建立直角坐標系，所以，

因為小池塘的邊界為拋物線型，設邊界所在的拋物線方程為，

因為是曲線上一點，

所以，即拋物線方程為.

設所在的直線方程：，

聯立，即，

因為與拋物線相切，

所以①.

記直線與拋物線切于點，

所以點的橫坐標為，即.

易得點，點，由對稱性可知，點.

所以小路總長為，

由①及可知

；

（2）記草坪面積為，梯形面積為，小池塘面積為，

所以，因為小池塘面積為定值，要使得草坪面積最小，則梯形面積最小

，

由①知，當且僅當“”取得“＝”

所以當時，梯形面積最小，即草坪面積最小．