Question

【題目】已知雙曲線具有性質(zhì)：若、是雙曲線左、右頂點，為雙曲線上一點，且在第一象限.記直線，的斜率分別為，，那么與之積是與點位置無關(guān)的定值.

（1）試對橢圓，類比寫出類似的性質(zhì)（不改變原有命題的字母次序），并加以證明.

（2）若橢圓的左焦點，右準(zhǔn)線為，在（1）的條件下，當(dāng)取得最小值時，求的垂心到軸的距離.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) .

【解析】

（1）根據(jù)類比對應(yīng)得橢圓性質(zhì)，再根據(jù)斜率公式證結(jié)論，（2）先求得橢圓方程，再根據(jù)基本不等式確定最值取法，即得直線方程，與橢圓方程聯(lián)立解得點坐標(biāo)，再根據(jù)直線交點得垂心坐標(biāo)，即得結(jié)果.

（1）若、是橢圓左、右頂點，為橢圓上一點，且在第一象限.記直線，的斜率分別為，，那么與之積是與點位置無關(guān)的定值，即；

證明如下：設(shè)

（2）因為橢圓的左焦點，右準(zhǔn)線為，

所以，橢圓

由（1）知，所以

當(dāng)且僅當(dāng)即時取“”

此時直線：

與橢圓聯(lián)立得

可設(shè)垂心，

由，故

的垂心到軸的距離為.