Question

已知：拋物線y²=4x，直線l過定點Q（2，0）．
（Ⅰ）已知直線l與x軸不垂直且與拋物線交于A、B兩點，若在x軸上存在一點E（m，0），使得直線AE與直線BE的傾斜角互補，求E點的坐標；
（Ⅱ）已知直線l與x軸垂直，拋物線的一條切線與y軸和直線l分別交于M、N兩點，自點M引以QN為直徑的圓的切線，切點為T，證明：|MT|為定值，并求出該定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設直線方程為y=k（x-2），代入y²=4x，得y²-

4

k

-y-8=0，由直線AE與直線BE的傾斜角互補，得-2（y₁+y₂）-m（y₁+y₂）=0，由此能求出E（-2，0）．
（2）設切點P（x₀，y₀）由對稱性不妨設y₀＞0，切線方程為：y-y0=

1

x0

(x-x0)，且y₀=2

x0

，切線與y軸的交點為M（0，

x0

），又切線與直線l交點N（2，

x0

+

2

x0

），由此能證明|MT|=

2

為定值．

解答： （Ⅰ）解：∵l與x軸不垂直，設直線方程為y=k（x-2），
代入y²=4x，得y2=(

y

k

+2)×4，即y²-

4

k

-y-8=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y1+y2=

4

k

，y₁y₂=-8，
∵直線AE與直線BE的傾斜角互補，
k_AE+k_BE=0，
∴

y1

x1-m

+

y2

x2-m

=0，
∴y₁x₂+y₂x₁-m（y₁+y₂）=0，
即y1•

y22

4

+y2•

y12

4

-m(y1+y2)=0，
整理，得-2（y₁+y₂）-m（y₁+y₂）=0，
∴（m+2）•

4

k

=0，∴m=-2，
即E（-2，0）．
（Ⅱ）證明：設切點P（x₀，y₀）由對稱性不妨設y₀＞0，
則拋物線切線的斜率k=（2

x

）′| x=x0=

1

x0

，
∴切線方程為：y-y0=

1

x0

(x-x0)，且y₀=2

x0

，
令x=0，∴y=y₀-

x0

=2

x0

-

x0

=

x0

，
∴切線與y軸的交點為M（0，

x0

），
又切線與直線l交點N，
令x=0，則y=y₀+

2

x0

-x₀=

x0

+

2

x0

，
∴N（2，

x0

+

2

x0

），
則以ON為直徑的圓的圓心O′（2，

x0

2

+

1

x0

），
半徑r=

x0

2

+

1

x0

，
|MT|²=|MO|²-r²=4+（

1

x0

+

x0

2

）²-（

x0

2

+

1

x0

）²=4，
∴|MT|=

2

為定值．

點評：本題考查點E的坐標的求法，考查線段長為定值的證明，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．