Question

已知函數f（x）=sin⁴x+2

3

sinx•cosx-cos⁴x．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期及單調遞減區間；
（Ⅱ）記△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且f（A）=2，求

b+c

2a

的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦定理的應用,三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換化簡函數的解析式為f（x）=2sin（2x-

π

6

），可得它的周期．由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3

2

π (k∈Z)，求得x的范圍，可得函數f（x）的單調減區間．
（Ⅱ）由f(A)=2sin(2A-

π

6

)=2，得sin(2A-

π

6

)=1，再利用三角形內角公式求得C的范圍，利用正弦定理、正弦函數的定義域和值域求得

b+c

2a

的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由f(x)=sin4x+2

3

sinx•cosx-cos4x=（sin²x+cos²x）•（sin²x-cos²x）+

3

sin2x
=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

），∴T=

2π

|ω|

=π．
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3

2

π (k∈Z)，求得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5

6

π (k∈Z)，
∴函數f（x）的單調減區間為[kπ+

π

3

，kπ+

5

6

π](k∈Z)．
（Ⅱ）由f(A)=2sin(2A-

π

6

)=2，得sin(2A-

π

6

)=1，
又-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

，則2A-

π

6

=

π

2

⇒A=

π

3

，從而B=

2π

3

-C，
所以

b+c

2a

=

sinB+sinC

2sinA

=

sin( 2π 3 -C)+sinC

2sin π 3

=

3 2 cosC+ 3 2 sinC

3

=

1

2

cosC+

3

2

sinC=sin(C+

π

6

)．
∵0＜C＜

2π

3

，∴

π

6

＜C+

π

6

＜

5π

6

⇒sin(C+

π

6

)∈(

1

2

，1]，從而

b+c

2a

=sin(C+

π

6

)∈(

1

2

，1]．

點評：本題主要考查三角恒等變換，正弦函數的周期性、單調性、定義域和值域，正弦定理，屬于中檔題．