Question

設F₁，F₂分別是橢圓

x2

4

+y2=1的左右焦點，過左焦點F₁作直線l與橢圓交于不同的兩點A、B．
（Ⅰ）若OA⊥OB，求AB的長；
（Ⅱ）在x軸上是否存在一點M，使得

MA

•

MB

為常數？若存在，求出M點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當直線l與x軸垂直時，A(-

3

，

1

2

)，B(-

3

，-

1

2

)，此時OA與OB不垂直．當直線l與x軸不垂直時，設l的方程為y=k(x+

3

)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯立直線與橢圓的方程，利用韋達定理及OA⊥OB，求出斜率，即可求得AB的長；
（Ⅱ）設M（m，0）為x軸上一點，用坐標表示出向量，利用

MA

•

MB

為定值，建立方程，即可求得滿足條件的點的坐標．

解答：解：（Ⅰ）當直線l與x軸垂直時，A(-

3

，

1

2

)，B(-

3

，-

1

2

)，此時OA與OB不垂直．（2分）
當直線l與x軸不垂直時，設l的方程為y=k(x+

3

)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯立直線與橢圓的方程

y=k(x+ 3 ) x2+4y2=4

，整理得(4k2+1)x2+8

3

k2x+12k2-4=0（4分）x1+x2=

-8 3 k2

4k2+1

，x1x2=

12k2-4

4k2+1

∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0x1x2+k2(x1+

3

)(x2+

3

)=x1x2+k2x1x2+

3

k2(x1+x2)+3k2=0

3

k2•

-8 3 k2

4k2+1

+(1+k2)•

12k2-4

4k2+1

+3k2=0
解得k2=

4

11

（6分）
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

20

9

（8分）
（Ⅱ）設M（m，0）為x軸上一點

MA • MB =(x1-m)(x2-m)+y1y2=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2 = 12k2-4 4k2+1 -m• -8 3 k2 4k2+1 +m2- k2 4k2+1 = (4m2+8 3 m+11)k2+m2-4 4k2+1

（12分）
若

MA

•

MB

為定值，則有

4m2+8 3 m+11

m2-4

=

4

1

，解得m=-

9 3

8

所以存在點M(-

9 3

8

， 0)使得

MA

•

MB

為定值．（14分）

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查存在性問題的探究，解題的關鍵是直線與橢圓方程的聯立，利用韋達定理解題．