Question

若f（x）=x+

a

x-1

在x≥3時有最小值4，則a=

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：導數的綜合應用

分析：由f（x）=x+

a

x-1

，可得f′(x)=1-

a

(x-1)2

=

x2-2x+1-a

(x-1)2

，分子的△=4-4（1-a）=4a．對a分類討論：當a≤0時，0＜a≤4時，a＞4時，再利用導數與函數的單調性極值最值的關系即可得出．

解答： 解：∵f（x）=x+

a

x-1

，∴f′(x)=1-

a

(x-1)2

=

x2-2x+1-a

(x-1)2

，分子的△=4-4（1-a）=4a．
當a≤0時，△≤0，x≥3時f′（x）＞0，∴函數f（x）單調遞增，∴當x=3時，函數f（x）有最小值4，∴3+

a

2

=4，解得a=2，與a≤0矛盾，應舍去；
當a＞0時，△＞0，令f′（x）=0，解得x=

2±2 a

2

=1±

a

，∴f′(x)=

[x-(1+ a )][x-(1- a )]

(x-1)2

．∵x≥3，∴x-(1-

a

)=x-1+

a

＞2．
①當1+

a

≤3即0＜a≤4時，函數f（x）在x≥3時單調遞增，∴當x=3時，函數f（x）有最小值4，∴3+

a

2

=4，解得a=2，滿足條件；
②當1+

a

＞3即a＞4時，令f′（x）=0，解得x=1+

a

，可知當x=1+

a

時，函數f（x）有最小值4，∴1+

a

+

a

1+ a -1

=4，解得a=

9

4

＜4，不滿足條件，應舍去．
綜上可得：只有當a=2時，滿足條件．
故答案為：2．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值最值的方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．