【題目】已知拋物線
的焦點為
，且過點
，橢圓
的離心率為
，點
為拋物線
與橢圓
的一個公共點，且
.
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓內一點
的直線
的斜率為
，且與橢圓交于
兩點，設直線
，
（
為坐標原點）的斜率分別為
，
，若對任意，存在實數
，使得
，求實數的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】試題分析：（1）由點
在拋物線
上，可求出拋物線
的方程為
，設
，則由拋物線的定義可得
，代入拋物線方程可解得
，
橢圓的離心率
，所以
，
又點在橢圓上，所以
，解得
，
，可得橢圓
的方程.
（2）設直線
的方程為
.聯立消元可得
，
設
，
， 
，根據韋達定理，由
，得
，因為此等式對任意的
都成立，所以
，即
.
由題意得點
在橢圓內，可求實數
的取值范圍.
試題解析：（1）由點在拋物線上，得
，解得
.
所以拋物線的方程為，其焦點
，
設，則由拋物線的定義可得
，解得，
代入拋物線方程可得
，解得
，所以，
橢圓的離心率，所以，
又點在橢圓上，所以，解得
，
，
所以橢圓的方程為.
（2）設直線的方程為.
由
，消元可得，
設，，則
，
，
而
，由，得，
因為此等式對任意的都成立，所以，即.
由題意得點在橢圓內，故
，即
，解得.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=2，CC1=3，長方體每條棱所在直線與過點C1的平面α所成的角都相等，則直線AC與平面α所成角的余弦值為（ ）
A. 
或1 B. 或0 C. 
或0 D. 或1
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖是一個幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，△PDC, △PBC, △PAB, △PDA為全等的等邊三角形，E、F分別為PA、PD的中點，在此幾何體中，下列結論中錯誤的為 （ ）
A. 平面BCD⊥平面PAD B. 直線BE與直線AF是異面直線
C. 直線BE與直線CF共面 D. 面PAD與面PBC的交線與BC平行
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，
平面
，四邊形是菱形，
，
，且
，
交于點
，
是
上任意一點．
（1）求證：
；
（2）若為的中點，且二面角
的余弦值為
，求
與平面
所成角
的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系中，以坐標原點為極點，
軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知點
的極坐標為
，直線
的極坐標方程為
，且點在直線上．
（1）求
的值及直線的直角坐標方程；
（2）圓
的極坐標方程為
，試判斷直線與圓的位置關系．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學為弘揚優良傳統，展示80年來的辦學成果，特舉辦“建校80周年教育成果展示月”活動。現在需要招募活動開幕式的志愿者，在眾多候選人中選取100名志愿者，為了在志愿者中選拔出節目主持人，現按身高分組，得到的頻率分布表如圖所示.
（1）請補充頻率分布表中空白位置相應數據，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖；
（2）為選拔出主持人，決定在第3、4、5組中用分層抽樣抽取6人上臺，求第3、4、5組每組各抽取多少人？
（3）在（2）的前提下，主持人會在上臺的6人中隨機抽取2人表演詩歌朗誦，求第3組至少有一人被抽取的概率？
參考公式：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
:
的一個焦點與拋物線
的焦點重合，且過點
.過點
的直線
交橢圓
于
， 
兩點， 
為橢圓的左頂點.
(Ⅰ)求橢圓
的標準方程；
(Ⅱ)求
面積的最大值，并求此時直線
的方程.
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