Question

【題目】已知函數f（x）=sinxcosx+cos2x-．

（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期及單調遞增區間；

（Ⅱ）將函數f（x）圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數g（x）的圖象．若關于x的方程g（x）-k=0，在區間[0，]上有實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）最小正周期為，單調遞增區間為[-+kπ，+kπ]，k∈Z（Ⅱ）[，1]

【解析】

（Ⅰ）先化簡f（x），根據三角形的函數的最小正周期的定義和函數的圖象和性質即可求出，

（Ⅱ）根據圖象的變換可得g（x），求出g（x）的值域即可求出k的范圍．

（Ⅰ）f（x）=sinxcosx+cos2x-=sin2x+cos2x=sin（2x+），

∴函數f（x）的最小正周期為T==π，

由-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，

∴-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，

故函數f（x）的單調遞增區間為+kπ，+kπ]，k∈Z，

（Ⅱ）將所得圖象所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），

得到g（x）=sin（x+），

∵0≤x≤,∴≤x≤，

∴≤sin（x+）≤1，

∴≤g（x）≤1

∴關于x的方程g（x）-k=0，在區間[0，]上有實數解，

即圖象g（x）與y=k，有交點，

∴≤k≤1，

故k的取值范圍為[，1]．