Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x3+ax2﹣a2x+1，g（x）=ax2﹣2x+1，其中實(shí)數(shù)a≠0．
（1）若a＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)且g（x）存在最小值時(shí)，記g（x）的最小值為h（a），求h（a）的值域；
（3）若f（x）與g（x）在區(qū)間（a，a+2）內(nèi)均為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，又a＞0，

∴當(dāng) 時(shí)，f'（x）＞0；

當(dāng) 時(shí)，f'（x）＜0，

∴f（x）在（﹣∞，﹣a）和 內(nèi)是增函數(shù)，在 內(nèi)是減函數(shù)．

（2）解：由題意知x3+ax2﹣a2x+1=ax2﹣2x+1，

即x[x2﹣（a2﹣2）]=0恰有一根（含重根）．∴a2﹣2≤0，即- ≤a≤ ，

又a≠0，∴ ．

當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）才存在最小值，∴ ．

g（x）=a（x﹣ ）2+1﹣ ，

∴ ．

h（a）≤1﹣ ；

∴h（a）的值域?yàn)? ．

（3）解：當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（﹣∞，﹣a）和 內(nèi)是增函數(shù)，g（x）在 內(nèi)是增函數(shù)．

由題意得 ，解得a≥1；

當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在 和（﹣a，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，g（x）在 內(nèi)是增函數(shù)．

由題意得 ，解得a≤﹣3；

綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）

【解析】（1）先對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于0可求函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0可求函數(shù)的減區(qū)間．（2）令f（x）=g（x）整理可得x[x2﹣（a2﹣2）]=0，故a2﹣2≤0求出a的范圍，再根據(jù)g（x）存在最小值必有a＞0，最后求出h（a）的值域即可．（3）分別求出函數(shù)f（x）與g（x）的單調(diào)區(qū)間，然后令（a，a+2）為二者單調(diào)增區(qū)間的子集即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．