Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的下頂點為，點是橢圓上異于點的動點，直線分別與軸交于點，且點是線段的中點．當點運動到點處時，點的坐標為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設直線交軸于點，當點均在軸右側，且時，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）先求直線的方程，即得B坐標，有；再將N坐標代入橢圓方程解得a（2）設直線的斜率為，解得P點坐標，根據中點坐標公式得Q，利用直線方程與橢圓方程聯立方程組解得M,N，根據橫坐標之間比例關系求k,即得直線的方程．

試題解析：解：（1）由，得直線的方程為．

令，得點的坐標為．

所以橢圓的方程為．

將點的坐標代入，得，解得．

所以橢圓的標準方程為．

（2）方法一：設直線的斜率為，則直線的方程為．

在中，令，得，而點是線段的中點，所以．

所以直線的斜率．

聯立，消去，得，解得．

用代，得．

又，所以，得．

故，又，解得．

所以直線的方程為．

方法二：設點的坐標分別為．

由，得直線的方程為，令，得．

同理，得．

而點是線段的中點，所以，故．

又，所以，得，從而，

解得．

將代入到橢圓C的方程中，得．

又，所以，即，

解得（舍）或．又，所以點的坐標為．

故直線的方程為．