【題目】在四棱柱
中，底面
是正方形，且
， 
．
（1）求證： 
；
（2）若動點
在棱
上，試確定點
的位置，使得直線
與平面
所成角的正弦值為
．
【答案】(1)見解析(2) 
【解析】試題分析：（1）連接
， 
， 
， 
與
的交點為
，連接
，則
，由正方形的性質可得
，從而得
平面
， 
，
又
，所以
；（2）由勾股定理可得
，由（1）得
所以
底面
，所以
、
、
兩兩垂直．以點
為坐標原點， 
的方向為
軸的正方向，建立空間直角坐標系
，設
（
），求得
，利用向量垂直數量積為零可得平面
的一個法向量為
，利用空間向量夾角余弦公式列方程可解得
，從而可得結果.
試題解析：（1）連接
， 
， 
，
因為
， 
，
所以
和
均為正三角形，
于是
．
設
與
的交點為
，連接
，則
，
又四邊形
是正方形，所以
，
而
，所以
平面
．
又
平面
，所以
，
又
，所以
．
（2）由
，及
，知
，
于是
，從而
，
結合
， 
，得
底面
，
所以
、
、
兩兩垂直．
如圖，以點
為坐標原點， 
的方向為
軸的正方向，建立空間直角坐標系
，
則
， 
， 
， 
， 
， 
，
， 
，
由
，易求得
．
設
（
），
則
，即
，
所以
．
設平面
的一個法向量為
，
由
得
令
，得
，
設直線
與平面
所成角為
，則
，
解得
或
（舍去），
所以當
為
的中點時，直線
與平面
所成角的正弦值為
．
【方法點晴】本題主要考查利用線面垂直證明線線垂直以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.
百年學典課時學練測系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設p：f(x)＝
在區間(1，＋∞)上是減函數；q：若x1，x2是方程x2－ax－2＝0的兩個實根，則不等式m2＋5m－3≥|x1－x2|對任意實數a∈[－1,1]恒成立．若p不正確，q正確，求實數m的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在標準溫度和大氣壓下，人體血液中氫離子的物質的量的濃度（單位mol/L，記作
）和氫氧根離子的物質的量的濃度（單位mol/L，記作
）的乘積等于常數
．已知pH值的定義為
，健康人體血液的pH值保持在7.35～7.45之間，那么健康人體血液中的
可以為（參考數據： 
， 
）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設動點
到定點
的距離比它到
軸的距離大
，記點
的軌跡為曲線
.
（1）求點
的軌跡方程；
（2）若圓心在曲線
上的動圓
過點
，試證明圓
與
軸必相交，且截
軸所得的弦長為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點為F,直線
與x軸的交點為P,與拋物線的交點為Q,且
.
(1)求拋物線的方程;
(2)過F的直線l與拋物線相交于A,D兩點,與圓
相交于B,C兩點(A,B兩點相鄰),過A,D兩點分別作拋物線的切線,兩條切線相交于點M,求△ABM與△CDM的面積之積的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校為了鼓勵學生熱心公益，服務社會，成立了“慈善義工社”.2017年12月，該校“慈善義工社”為學生提供了4次參加公益活動的機會，學生可通過網路平臺報名參加活動.為了解學生實際參加這4次活動的情況，該校隨機抽取100名學生進行調查，數據統計如下表，其中“√”表示參加，“×”表示未參加.
根據表中數據估計，該校4000名學生中約有120名這4次活動均未參加.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）從該校4000名學生中任取一人，試估計其2017年12月恰參加了2次學校組織的公益活動的概率；
（Ⅲ）已知學生每次參加公益活動可獲得10個公益積分，任取該校一名學生，記該生2017年12月獲得的公益積分為
，求隨機變量
的分布列和數學期望
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若函數f(x)＝sin2ax－
sin ax·cos ax－
(a>0)的圖象與直線y＝b相切，并且切點的橫坐標依次成公差為
的等差數列．
(1)求a，b的值；
(2)若x0∈
，且x0是y＝f(x)的零點，試寫出函數y＝f(x)在
上的單調增區間．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系
中，橢圓
的下頂點為
，點
是橢圓上異于點
的動點，直線
分別與
軸交于點
，且點
是線段
的中點．當點
運動到點
處時，點
的坐標為
．
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）設直線
交
軸于點
，當點
均在
軸右側，且
時，求直線
的方程．
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