Question

【題目】如圖， 為圓柱的母線， 是底面圓的直徑， 是的中點.

（Ⅰ）問： 上是否存在點使得平面？請說明理由；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若平面，假設這個圓柱是一個大容器，有條體積可以忽略不計的小魚能在容器的任意地方游弋，如果小魚游到四棱錐外會有被捕的危險，求小魚被捕的概率.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）可先猜測E是的中點，再證明，由題意推導出四邊形AOED是平行四邊形，由此能證明DE∥平面ABC；

（Ⅱ）魚被捕的概率等于1減去四棱錐C-ABB1A1與圓柱OO1的體積比，由此求出四棱錐C-ABB1A1與圓柱OO1的體積,即可得出結果．

試題解析：

（Ⅰ）存在，E是的中點．

證明：如圖

連接∵分別為的中點，

∴，

又，且，

∴四邊形是平行四邊形，

即平面平面，

∴平面.

（Ⅱ）魚被捕的概率 ，

由平面，且由（Ⅰ）知，∴平面，∴，

又是中點，∴，因是底面圓的直徑，得，且，

∴平面，即為四棱錐的高．

設圓柱高為，底面半徑為，則，

，

∴∶，即．