Question

【題目】將圓上每個點的橫坐標變為原來的4倍，縱坐標變為原來的3倍，得曲線，以坐標原點為極點， 軸的非負軸分別交于半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為： ，且直線在直角坐標系中與軸分別交于兩點.

（1）寫出曲線的參數方程，直線的普通方程；

（2）問在曲線上是否存在點，使得的面積，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）曲線的參數方程為，直線的普通方程為。（2）點的坐標為。

【解析】試題分析：（1）根據伸縮變換可以得到曲線為橢圓，故其參數方程為，對于極坐標方程，展開后利用可轉化為普通方程.（2）利用橢圓的參數方程設出動點的坐標，根據三角形的面積為求出其到直線的距離為，也即是，從而求出，也就得到的坐標.

解析：（1）曲線 ，故曲線 的參數方程為 (為參數)

直線 的普通方程為： .

（2）設曲線 上點 ，點到直線的距離為，則，又 ，故 ，當 時取等號，即 ，此時 ，故在曲線上存在點，使得的面積，點的坐標為.