Question

【題目】已知橢圓的右焦點為，上頂點為，直線與直線垂直，橢圓經過點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過點作橢圓的兩條互相垂直的弦．若弦的中點分別為，證明：直線恒過定點．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線經過定點.

【解析】試題分析：

（1）根據直線與直線垂直可得，從而得到，再由點在橢圓上可求得，即可得橢圓的方程．（2）當直線的斜率都存在時，設的方程為，與橢圓方程聯立消元后根據根據系數的關系可得點的坐標，同理可得點坐標，從而可得直線的方程，通過此方程可得直線過定點．然后再驗證當直線的斜率不存在時也過該定點．

試題解析：

（1）因為直線與直線垂直，

所以（為坐標原點），

即，

所以．

因為點在橢圓上，所以，

由，解得，

所以橢圓的標準方程為．

（2）①當直線的斜率都存在時，

設直線的方程為，

則直線的方程為，

由消去x整理得，

設，

則，

由中點坐標公式得，

用代替點M坐標中的可得．

所以直線的方程為，

令，得，

所以直線經過定點．

②當直線或的斜率不存在時，可知直線為軸，也經過定點．

綜上所述，直線經過定點．