Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O為AC中點，PO⊥平面ABCD，PO=2，M為PD中點
（Ⅰ）證明：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）證明：AD⊥平面PAC；
（Ⅲ）求多面體PMABC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）證明PB∥平面ACM，利用線面平行的判定定理，證明MO∥PB即可；
（Ⅱ）證明AD⊥平面PAC，利用線面垂直的判定定理，證明AD⊥AC，AD⊥PO即可；
（Ⅲ）利用M為PD中點，可得VM-ADC=

1

2

VP-DAC=

1

4

VP-ABCD，即可求多面體PMABC的體積．

解答： （Ⅰ）證明：連接BD，MO，
由題O為BD中點，又M為PD中點
∴MO∥PB，
又∵PB?面MAC，MO?面MAC，
∴PB∥面MAC（4分）
（Ⅱ）證明：∵AD=AC，∠ADC=45°，
∴∠DAC=90°，
∴DA⊥AC
又PO⊥面ABCD，∴PO⊥AD
又PO∩AC=O，∴AD⊥面PAC（8分）
（Ⅲ）解：∵M為PD中點，∴VM-ADC=

1

2

VP-DAC=

1

4

VP-ABCD，
∴VPMABC=

3

4

VP-ABCD=

1

2

（12分）

點評：本題考查線面平行、線面垂直、錐體體積的計算，解題的關鍵是正確運用線面平行、線面垂直的判定定理，屬于中檔題．