Question

設命題p：關于x的不等式2x-3a≤0在區間（-4，1）上恒成立；命題q：函數y=3 x2-ax+1在區間（1，+∞）上是增函數．若命題p或q為真命題，p且q為假命題，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：利用一次函數的單調性可得命題P的a的取值范圍，利用指數函數和復合函數的單調性可得命題q的a的取值范圍，再利用命題p或q為真，p且q為假，可得p與q一真一假．

解答： 解：對于命題p：∵關于x的不等式2x-3a≤0在區間（-4，1）上恒成立，
∴

2•(-4)-3a≤0 2•1-3a≤0

⇒p：a≥

2

3

．
對于命題q：令t=x²-ax+1，
∴y=3^t，函數y=3x2-ax+1在區間（1，+∞）上是增函數，
由復合函數單調性可知t=x²-ax+1在區間（1，+∞）上是增函數，
∴

a

2

≤1  ⇒q：a≤2．
∵命題p或q為真，p且q為假，
∴p與q一真一假．
若p真q假，則a＞2；
 若p假q真，則a＜

2

3

．
綜上，a的取值范圍為a＞2或a＜

2

3

．

點評：本題考查了一次函數的單調性、指數函數和復合函數的單調性、復合命題的真假判斷，屬于中檔題．