Question

已知橢圓C過點A（1，

3

2

），兩焦點為F₁（-

3

，0）、F₂（

3

，0），O是坐標原點，不經過原點的直線l：y=kx+m與橢圓交于兩不同點P、Q．
（1）求橢圓C的方程；     
（2）當k=1時，求△OPQ面積的最大值；
（3）若直線OP、PQ、OQ的斜率依次成等比數列，求直線l的斜率k．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意設橢圓方程為

x2

b2+3

+

y2

b2

=1，且

1

b2+3

+

3

4b2

=1，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由

y=x+m x2+4y2-4=0

，得：5x²+8mx+4（m²-1）=0，由此利用根的判別式、韋達定理、點到直線距離公式能求出△OPQ面積的最大值．
（3）由

y=kx+m x2+4y2-4=0

，得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，由此利用根的判別式、韋達定理、等比數列，能求出直線l的斜率k的值．

解答： 解：（1）由題意得c=

3

，
設橢圓方程為

x2

b2+3

+

y2

b2

=1…（2分）
則

1

b2+3

+

3

4b2

=1，解得b²=1，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．…（4分）
（2）由

y=x+m x2+4y2-4=0

，消去y得：5x²+8mx+4（m²-1）=0，
則△=16（5-m²）＞0，0＜m²＜5…（6分）
x1+x2=-

8m

5

，x1x2=

4(m2-1)

5

，
設d為點O到直線l的距離，
則S△OPQ=

1

2

d|PQ|═

1

2

•

|m|

2

2

|x1-x2|…（8分）
=

1

2

|m|

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

5

•|m|•

5-m2

≤

2

5

•

m2+5-m2

2

=1
當且僅當m2=

5

2

時，等號成立，
所以△OPQ面積的最大值為1．…（10分）
（3）由

y=kx+m x2+4y2-4=0

，消去y得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0…（12分）
則△=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）
=16（4k²-m²+1）＞0
x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4(m2-1)

1+4k2

故y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2…（14分）
因為直線OP、PQ、OQ的斜率依次成等比數列
所以

y1

x1

•

y2

x2

=

k2x1x2+km(x1+x2)+m2

x1x2

=k2⇒km(x1+x2)+m2=0⇒-

8k2m2

1+4k2

+m2=0，
由于m≠0，故k2=

1

4

⇒k=±

1

2

，
所以直線l的斜率k的值為±

1

2

．…（16分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，考查直線的斜率的求法，解題時要注意點到直線的距離公式的合理運用．