Question

【題目】已知中心在原點,焦點在x軸上的橢圓C的離心率為,點(0,)是橢圓與y軸的一個交點.

(1)求橢圓C的方程;

(2)直線x=2與橢圓交于P,Q兩點,點P位于第一象限,A,B是橢圓上位于直線x=2兩側的動點;

①若直線AB的斜率為,求四邊形APBQ面積的取值范圍;

②當點A,B在橢圓上運動,且滿足∠APQ=∠BPQ時,直線AB的斜率是否為定值?若是,求出此定值;若不是,說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

⑴設橢圓的方程為=1(a>b>0)，由橢圓的性質求出，由此求得橢圓的方程

⑵①設A(x1,y1),B(x2,y2)，直線AB的方程為，與橢圓聯立，得到，由此利用韋達定理，弦長公式求出四邊形APBQ的面積的取值范圍

②當時，設直線PA的方程為，分別與橢圓方程聯立，利用韋達定理即可求得答案

(1)設橢圓的方程為=1(a>b>0),由題意可知,b=,a2=b2+c2,解得a=2,

∴橢圓C的方程為=1.

(2)①設A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=x+t,

聯立

消y可得,2x2+4tx+4t2-8=0,

即x2+2tx+2t2-4=0,

則有x1+x2=-2t,x1x2=2t2-4.

對于=1,令x=2,得P(2,1),Q(2,-1),

將P,Q分別代入直線可得,t=0,t=-2,

由點A,B在直線x=2的兩側,故-2<t<0,

四邊形APBQ的面積為

S=S△APQ+S△BPQ

=|PQ|·|x2-x1|

=×2×|x2-x1|

=

=,

而-2<t<0,所以0<S四邊形APBQ<4.

②當∠APQ=∠BPQ時,直線PA,PB的斜率之和為0,

不妨設直線PA的斜率為k,則直線PB的斜率為-k,

所以直線PA的方程為y-1=k(x-2),

即kx-y+1-2k=0,

聯立

消去y可得,(1+4k2)x2+8k(1-2k)x+4(1-2k)2-8=0,

所以x1+2=.

同理直線PB的方程為y-1=-k(x-2),

可得,x2+2=,

所以x1+x2=,x1-x2=,

所以kAB=

=

=

=,

故直線AB的斜率為定值.