Question

【題目】已知函數f（x）=ex+be﹣x ， （b∈R），函數g（x）=2asinx，（a∈R）．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若b=﹣1，f（x）＞g（x），x∈（0，π），求a取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

①當b≤0時，f'（x）≥0，所以f（x）的增區間為（﹣∞，+∞）；

②當b＞0時，減區間為 ，增區間為

（2）

解：由題意得ex﹣e﹣x﹣2asinx＞0，x∈（0，π）恒成立，

構造函數h（x）=ex﹣e﹣x﹣2asinx，x∈（0，π）

顯然a≤0時，ex﹣e﹣x﹣2asinx＞0，x∈（0，π）恒成立，

下面考慮a＞0時的情況：h（0）=0，h′（x）=ex+e﹣x﹣2acosx，h′（0）=2﹣2a，

當0＜a≤1時，h′（x）≥0，所以h（x）=ex﹣e﹣x﹣2asinx在（0，π）為增函數，

所以h（x）＞h（0）=0，即0＜a≤1滿足題意；

當a＞1時，h′（0）=2﹣2a＜0，又 ，

所以一定存在 ，h′（x0）=0，且h′（x）＜0，x∈（0，x0），

所以h（x）在（0，x0）單調遞減，所以h（x）＜h（0）=0，

x∈（0，x0），不滿足題意．

綜上，a取值范圍為（﹣∞，1]

【解析】（1）求出函數的導數，通過討論b的范圍，求出函數的單調區間即可；（2）構造函數h（x）=ex﹣e﹣x﹣2asinx，x∈（0，π），通過討論a的范圍確定函數的單調性，從而求出a的范圍．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．