Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知曲線C1的參數方程為 （θ為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩坐標系取相同的單位長度，曲線C2的極坐標方程為ρ=﹣2sin（θ+ ）．
（1）把曲線C1的參數方程化為極坐標方程；
（2）求曲線C1與C2的交點M（ρ1 ， θ1）的極坐標，其中ρ1≤0，0≤θ1＜2π．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線C1的參數方程為 （θ為參數），可得x=2（cosθ+1）﹣1=2cosθ+1，

∴（x﹣1）2+y2=4（cos2θ+sin2θ）=4，可得普通方程為：（x﹣1）2+y2=4，展開為：x2+y2﹣2x﹣3=0，

把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上述方程可得極坐標方程：ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0

（2）解：由曲線C2的極坐標方程：ρ=﹣2sin（θ+ ），展開可得： sinθ=0，即ρ2+ρcosθ+ sinθ=0，

化為直角坐標方程為：x2+y2+x+ y=0，聯立 ，解得 ，或 ．

∴曲線C1與C2的交點的直角坐標為 ，或（﹣1，0）．

化為極坐標為： ，或（﹣1，0）

【解析】（1）由曲線C1的參數方程，可得x=2（cosθ+1）﹣1=2cosθ+1，利用同角三角函數平方關系可得普通方程為：（x﹣1）2+y2=4，展開把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上述方程可得極坐標方程．（2）由曲線C2的極坐標方程：ρ=﹣2sin（θ+ ），展開可得： sinθ=0，即ρ2+ρcosθ+ sinθ=0，利用ρ2=x2+y2 ， x=ρcosθ，y=ρsinθ即可化為直角坐標方程，聯立解得交點，化為極坐標即可得出．