Question

將函數f（x）=cos2x+

3

x的所有正的極大值點從小到大依次排成數列{x_n}，θ_n=x₁+x₂+…+x_n，則下列命題正確的是

 

（寫出你認為正確的所有命題的序號）
①函數f（x）=cos2x+

3

x在x=

π

3

處取得極大值；
②數列{x_n}是等差數列；
③sinθ_n≥sinθ_n+1對于任意正整數n恒成立；
④存在正整數T，使得對于任意正整數n，都有sinθ_n=sinθ_n+T成立；
⑤n取所有的正整數，sinθ_n的最大值為

3

2

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用,三角函數的圖像與性質

分析：求出f（x）的導數f′（x），畫出導函數y的圖象，結合圖象得出f（x）的所有正極大值點x_n，判定①錯誤，②正確；
又θ_n=x₁+x₂+…+x_n=

nπ

6

+

n(n-1)

2

π，n∈N^*，判定③錯誤，④正確，⑤正確．

解答： 解：∵f（x）=cos2x+

3

x，
∴f′（x）=-2sin2x+

3

；
畫出函數y=-2sin2x+

3

的圖象，如圖所示；
由圖象知f（x）的所有正極大值點為x_n=

π

6

+（n-1）π，n∈N^*，
∴對于①，f（x）=cos2x+

3

x在x=

π

3

處取得極大值是錯誤的；
對于②，數列{x_n}是等差數列是正確的；
又∵θ_n=x₁+x₂+…+x_n=

nπ

6

+

n(n-1)

2

π，n∈N^*，
∴對于③，sinθ_n≥sinθ_n+1不一定恒成立；
對于④，根據正弦函數的周期性知，命題是正確的；
對于⑤，∵n=4時，sinθ_n=（sin

2π

3

+6π）=

3

2

，取得最大值

3

2

，∴命題正確．
綜上，正確的命題是②④⑤．
故答案為：②④⑤．

點評：本題考查了導數的綜合應用問題，解題時應根據題意，利用導函數判定函數的單調性與極值，利用三角函數的周期性判定函數的性質，是綜合性題目．