【題目】如圖， 
是半圓
的直徑， 
是半圓
上除
、
外的一個動點， 
垂直于半圓
所在的平面， 
， 
， 
， 
.
（1）證明：平面
平面
；
（2）當三棱錐
體積最大時，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）見解析（2）
【解析】試題分析：
(1)利用題意首先證得
平面
，然后利用面面垂直的判斷定理即可證得平面
平面
.
(2)由題意可得，當且僅當
時，三棱錐
體積最大,建立空間直角坐標系可得二面角
的余弦值為
.
試題解析：
解：（1）因為
是直徑，所以
，
因為
平面
，所以
，
因為
，所以
平面
，
因為
， 
，
所以四邊形
是平行四邊形，
所以
，所以
平面
，
因為
平面
，所以平面
平面
.
（2）因為
平面
， 
，
所以
平面
， 
，
在
中， 
，
由（1）知
，
當且僅當
時，等號成立.
如圖所示，建立空間直角坐標系，則
， 
， 
， 
.
則
， 
， 
， 
.
設平面
的一個法向量為
，
則
，即
，
∴
，取
，則
，
設平面
的一個法向量為
，
則
，即
，
∴
，取
，則
，
∴
，
∴二面角
的余弦值為
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓心在
軸上的圓
與直線
切于點
.
（1）求圓
的標準方程；
（2）已知
，經過原點，且斜率為正數的直線
與圓
交于
兩點.
（�。┣笞C： 
為定值；
（ⅱ）求
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學數學老師分別用兩種不同教學方式對入學數學平均分和優秀率都相同的甲、乙兩個高一新班（人數均為20人）進行教學（兩班的學生學習數學勤奮程度和自覺性一致），數學期終考試成績莖葉圖如下：
（1）學校規定：成績不低于75分的為優秀，請填寫下面的
聯表，并判斷有多大把握認為“成績優秀與教學方式有關”．
附：參考公式及數據
（2）從兩個班數學成績不低于90分的同學中隨機抽取3名，設
為抽取成績不低于95分同學人數，求
的分布列和期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某網站針對2015年中國好聲音歌手A，B，C三人進行網上投票，結果如下
觀眾年齡 | 支持A | 支持B | 支持C |
20歲以下 | 100 | 200 | 600 |
20歲以上（含20歲） | 100 | 100 | 400 |
（1）在所有參與該活動的人中，用分層抽樣的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值．
（2）在支持C的人中，用分層抽樣的方法抽取5人作為一個總體，從這5人中任意選取2人，求恰有1人在20歲以下的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，扇形AOB，圓心角AOB等于60°，半徑為2，在弧AB上有一動點P，過P引平行于OB的直線和OA交于點C，設∠AOP＝θ，當△POC面積的最大值時θ的值為___________
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】平面內有向量 
=（1，7）， 
=（5，1）， 
=（2，1），點X為直線OP上的一個動點．
（1）當 
取最小值時，求 
的坐標；
（2）當點X滿足（1）的條件和結論時，求cos∠AXB的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著人口老齡化的到來，我國的勞動力人口在不斷減少，“延遲退休”已經成為人們越來越關注的話題，為了解公眾對“延遲退休”的態度，某校課外研究性學習小組在某社區隨機抽取了50人進行調查，將調查情況進行整理后制成下表：
年齡 | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) | [40,45) |
人數 | 4 | 5 | 8 | 5 | 3 |
年齡 | [45,50) | [50,55) | [55,60) | [60,65) | [65,70) |
人數 | 6 | 7 | 3 | 5 | 4 |
經調查年齡在［25,30),[55,60）的被調查者中贊成“延遲退休”的人數分別是3人和2人.現從這兩組的被調查者中各隨機選取2人，進行跟蹤調查．
（I）求年齡在［25,30）的被調查者中選取的2人都贊成“延遲退休”的概率；
（II）若選中的4人中，不贊成“延遲退休”的人數為
，求隨機變量
的分布列和數學期望．
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