Question

【題目】已知函數(shù)， ，（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）， 使得不等式成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

（2）若，求證： .

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：

(1)問(wèn)題等價(jià)于，分別討論函數(shù) 的性質(zhì)可得：實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

(2) 問(wèn)題等價(jià)于，令，可得的最小值為1.

令，其可看作點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，可得取得最大值為1.據(jù)此即可得.

試題解析：

解：（1）因?yàn)椴坏仁?/span>等價(jià)于，

所以， 使得不等式成立，等價(jià)于，即，

當(dāng)時(shí)， ，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以時(shí)， 取得最小值.

又，由于， ， ，

所以，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此時(shí)， 取得最大值.

所以，所以.

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（2）當(dāng)時(shí)，要證，只要證，

只要證，

只要證，

由于， ，只要證.

下面證明時(shí)，不等式成立，

令，則，

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增.

所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， 取得極小值也就是最小值為1.

令，其可看作點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，

所以直線的方程為，

由于點(diǎn)在圓，所以直線與圓相交或相切.

當(dāng)直線與圓相切且切點(diǎn)在第二象限時(shí)，直線的斜率取得最大值為1.

故時(shí)， ； 時(shí)， .

綜上所述：時(shí)時(shí)， 成立.