Question

若對滿足條件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x和y，（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：由正實數x，y滿足xy=x+y+3，利用基本不等式可得3+x+y=xy≤(

x+y

2

)2，當且僅當x=y時取等號．令x+y=t＞0，則t²-4t-12≥0，可得t的取值范圍．即x+y的取值范圍．由（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立，可得a≤[(x+y)+

1

x+y

]min=(t+

1

t

)min（t≥6）．再利用導數研究其單調性即可得出．

解答： 解：：∵正實數x，y滿足xy=x+y+3，
∴3+x+y=xy≤(

x+y

2

)2，當且僅當x=y時取等號．
令x+y=t＞0，則t²-4t-12≥0，
解得t≥6．
即x+y的取值范圍是[6，+∞）．
由（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立，∴a≤[(x+y)+

1

x+y

]min=(t+

1

t

)min（t≥6）．
令g（t）=t+

1

t

(t≥6)，則g′(t)=1-

1

t2

=

t2-1

t2

＞0，因此函數g（t）在t∈[6，+∞）上單調遞增．
∴g（t）_min=6+

1

6

=

37

6

．
∴a≤

37

6

．
∴實數a的取值范圍是a≤

37

6

．
故答案為：a≤

37

6

．

點評：本題考查了基本不等式的性質、一元二次不等式的解法、利用導數研究函數的單調性極值與最值，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．