Question

【題目】設(shè)，命題p：函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；q：函數(shù)僅在處有極值.

（1）若命題q是真命題，求a的取值范圍；

（2）若命題是真命題，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)函數(shù)僅在處有極值，則在左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反，可得恒成立，轉(zhuǎn)化為求解二次不等式的恒成立問題；（2）當(dāng)p是真命題時(shí)，利用復(fù)合函數(shù)“同增異減”研究的單調(diào)性問題，求出相應(yīng)a的范圍，又是真命題，則至少有一個(gè)是真命題，所以取p是真命題時(shí)a的取值集合與是真命題時(shí)a的取值集合的并集即可.

（1）由題意知，，顯然不是方程的根,

為使僅在處有極值，必須恒成立，即，

解不等式，得，這時(shí)是唯一極值，

因此滿足條件的a的取值范圍是.

（2）當(dāng)p是真命題時(shí)，對(duì)恒成立,則，記，則

當(dāng)時(shí)，要使得是增函數(shù)，則需有對(duì)恒成立，所以，與矛盾；

當(dāng)時(shí)，要使得是增函數(shù)，則需有對(duì)恒成立，所以，所以.

記當(dāng)p是真命題時(shí)a的取值集合為A，則；

記當(dāng)是真命題時(shí)a的取值集合為B，則.

因?yàn)?/span>是真命題，

所以a的取值范圍是.