Question

【題目】有甲、乙兩種商品，經銷這兩種商品所能獲得的利潤分別是p萬元和q萬元．它們與投入資金x萬元的關系是：p= x，q= ．今有3萬元資金投入經營這兩種商品，為獲得最大利潤，對這兩種商品的資金分別投入多少時，能獲取最大利潤？最大利潤為多少？

Answer 1

【答案】解：設對乙商品投入資金x萬元，則對甲投入資金為（3﹣x）萬元，此時獲取利潤為y萬元；
則由題意知， ．
令 ，則y=﹣ t2+ t+ = （其中0≤t≤ ）；
根據二次函數的圖象與性質知，當t= 時，y有最大值，為 ；
又t= ，得 = ，∴x= =2.25（萬元），∴3﹣x=0.75（萬元）；
所以，對甲投入資金0.75萬元，對乙投資2.25萬元時，獲取利潤最大，為 萬元
【解析】如果設對乙商品投入資金x萬元，則對甲投入資金為（3﹣x）萬元，獲取的利潤為y萬元；那么y=p+q，代入可得關于x的解析式，利用換元法得到二次函數f（t），再由二次函數的圖象與性質，求導y的最大值，和對應的t、x．