Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）當(dāng)時(shí)，求證：對任意，都有．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，求出導(dǎo)數(shù)易得，即，利用點(diǎn)斜式可得其切線方程；（2）求得可得，分為和兩種情形判斷其單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，根據(jù)（2）可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即，化簡可得所證結(jié)論.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)， ， ， ， ，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即．

（2），定義域?yàn)?/span>， ．

① 當(dāng)時(shí)， ，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；

② 當(dāng)時(shí)，令，得

x
	↘	極小值	↗

綜上所述，當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（3）當(dāng)時(shí)，由（2）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，顯然， ，故，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，對任意，都有，所以．所以，即，所以，即，所以，即，所以．